Issolvi {r}{22x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { r } { 22 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{40}{7} = -5\frac{5}{7} \approx -5.714285714$$

$$y = \frac{305}{7} = 43\frac{4}{7} \approx 43.571428571$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$22x+3y=5$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$22x=-3y+5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'22.

$$x=\frac{1}{22}\left(-3y+5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{22} b'-3y+5.

$$x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}$$

Issostitwixxi \frac{-3y+5}{22} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}\right)+2y=70$$

Immultiplika 3 b'\frac{-3y+5}{22}.

$$-\frac{9}{22}y+\frac{15}{22}+2y=70$$

Żid -\frac{9y}{22} ma' 2y.

$$\frac{35}{22}y+\frac{15}{22}=70$$

Naqqas \frac{15}{22} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{35}{22}y=\frac{1525}{22}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{35}{22}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{305}{7}$$

Issostitwixxi \frac{305}{7} għal y f'x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{22}\times \frac{305}{7}+\frac{5}{22}$$

Immultiplika -\frac{3}{22} b'\frac{305}{7} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{915}{154}+\frac{5}{22}$$

Żid \frac{5}{22} ma' -\frac{915}{154} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{40}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{22\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}&\frac{22}{22\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}&-\frac{3}{35}\\-\frac{3}{35}&\frac{22}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}\times 5-\frac{3}{35}\times 70\\-\frac{3}{35}\times 5+\frac{22}{35}\times 70\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{7}\\\frac{305}{7}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

Biex tagħmel 22x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'22.

$$3\times 22x+3\times 3y=3\times 5,22\times 3x+22\times 2y=22\times 70$$

Issimplifika.

$$66x+9y=15,66x+44y=1540$$

Naqqas 66x+44y=1540 minn 66x+9y=15 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$66x-66x+9y-44y=15-1540$$

Żid 66x ma' -66x. 66x u -66x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$9y-44y=15-1540$$

Żid 9y ma' -44y.

$$-35y=15-1540$$

Żid 15 ma' -1540.

$$-35y=-1525$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-35.

$$y=\frac{305}{7}$$

Issostitwixxi \frac{305}{7} għal y f'3x+2y=70. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+2\times \frac{305}{7}=70$$

Immultiplika 2 b'\frac{305}{7}.

$$3x+\frac{610}{7}=70$$

Naqqas \frac{610}{7} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-\frac{120}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=-\frac{40}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$