Issolvi {r}{2x+3y=13-(1)}{x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = 13 - ( 1 ) } \\ { x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-3$$

$$y=6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+3y=12,x+2y=9$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+3y=12$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-3y+12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+12\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3y+12.

$$x=-\frac{3}{2}y+6$$

Issostitwixxi -\frac{3y}{2}+6 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+2y=9.

$$-\frac{3}{2}y+6+2y=9$$

Żid -\frac{3y}{2} ma' 2y.

$$\frac{1}{2}y+6=9$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{2}y=3$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'2.

$$y=6$$

Issostitwixxi 6 għal y f'x=-\frac{3}{2}y+6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+6$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'6.

$$x=-9+6$$

Żid 6 ma' -9.

$$x=-3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-3,y=6$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+3y=12,x+2y=9$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 12-3\times 9\\-12+2\times 9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-3,y=6$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+3y=12,x+2y=9$$

Biex tagħmel 2x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$2x+3y=12,2x+2\times 2y=2\times 9$$

Issimplifika.

$$2x+3y=12,2x+4y=18$$

Naqqas 2x+4y=18 minn 2x+3y=12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x+3y-4y=12-18$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3y-4y=12-18$$

Żid 3y ma' -4y.

$$-y=12-18$$

Żid 12 ma' -18.

$$-y=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=6$$

Issostitwixxi 6 għal y f'x+2y=9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+2\times 6=9$$

Immultiplika 2 b'6.

$$x+12=9$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-3,y=6$$