Issolvi {r}{10x-10y=-10}{+-10x+8y=12}

$$\left. \begin{array} { r } { 10 x - 10 y = - 10 } \\ { + - 10 x + 8 y = 12 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$10x-10y=-10$$

Żid 10y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$10x=10y-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10.

$$x=\frac{1}{10}\left(10y-10\right)$$

Immultiplika \frac{1}{10} b'-10+10y.

$$x=y-1$$

Issostitwixxi y-1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -10x+8y=12.

$$-10\left(y-1\right)+8y=12$$

Immultiplika -10 b'y-1.

$$-10y+10+8y=12$$

Żid -10y ma' 8y.

$$-2y+10=12$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2y=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=y-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-1-1$$

Żid -1 ma' -1.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\\-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&\frac{10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\\-\frac{1}{2}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-2,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

Biex tagħmel 10x u -10x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-10 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'10.

$$-10\times 10x-10\left(-10\right)y=-10\left(-10\right),10\left(-10\right)x+10\times 8y=10\times 12$$

Issimplifika.

$$-100x+100y=100,-100x+80y=120$$

Naqqas -100x+80y=120 minn -100x+100y=100 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-100x+100x+100y-80y=100-120$$

Żid -100x ma' 100x. -100x u 100x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$100y-80y=100-120$$

Żid 100y ma' -80y.

$$20y=100-120$$

Żid 100 ma' -120.

$$20y=-20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'20.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'-10x+8y=12. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-10x+8\left(-1\right)=12$$

Immultiplika 8 b'-1.

$$-10x-8=12$$

Żid 8 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-10x=20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-10.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=-1$$