Issolvi {r}{2(x+1)/3-y=-3}{3(x+5-y)+3x=12}

$$\left. \begin{array} { r } { \frac { 2 ( x + 1 ) } { 3 } - y = - 3 } \\ { 3 ( x + 5 - y ) + 3 x = 12 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x+1.

$$2x+2-3y=-9$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat.

$$2x-3y=-9-2$$

Naqqas 2 minn -9 biex tikseb -11.

$$2x-3y=-11$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+5-y.

$$3x+15-3y+3x=12$$

Ikkombina 3x u 3x biex tikseb 6x.

$$6x+15-3y=12$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat.

$$6x-3y=12-15$$

Naqqas 15 minn 12 biex tikseb -3.

$$6x-3y=-3$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-3y=-11$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=3y-11$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-11\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'3y-11.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}$$

Issostitwixxi \frac{3y-11}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 6x-3y=-3.

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}\right)-3y=-3$$

Immultiplika 6 b'\frac{3y-11}{2}.

$$9y-33-3y=-3$$

Żid 9y ma' -3y.

$$6y-33=-3$$

Żid 33 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6y=30$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{2}\times 5-\frac{11}{2}$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'5.

$$x=\frac{15-11}{2}$$

Żid -\frac{11}{2} ma' \frac{15}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x+1.

$$2x+2-3y=-9$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat.

$$2x-3y=-9-2$$

Naqqas 2 minn -9 biex tikseb -11.

$$2x-3y=-11$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+5-y.

$$3x+15-3y+3x=12$$

Ikkombina 3x u 3x biex tikseb 6x.

$$6x+15-3y=12$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat.

$$6x-3y=12-15$$

Naqqas 15 minn 12 biex tikseb -3.

$$6x-3y=-3$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-11\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-\frac{1}{2}\left(-11\right)+\frac{1}{6}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x+1.

$$2x+2-3y=-9$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat.

$$2x-3y=-9-2$$

Naqqas 2 minn -9 biex tikseb -11.

$$2x-3y=-11$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+5-y.

$$3x+15-3y+3x=12$$

Ikkombina 3x u 3x biex tikseb 6x.

$$6x+15-3y=12$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat.

$$6x-3y=12-15$$

Naqqas 15 minn 12 biex tikseb -3.

$$6x-3y=-3$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

Naqqas 6x-3y=-3 minn 2x-3y=-11 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-6x-3y+3y=-11+3$$

Żid -3y ma' 3y. -3y u 3y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2x-6x=-11+3$$

Żid 2x ma' -6x.

$$-4x=-11+3$$

Żid -11 ma' 3.

$$-4x=-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$x=2$$

Issostitwixxi 2 għal x f'6x-3y=-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$6\times 2-3y=-3$$

Immultiplika 6 b'2.

$$12-3y=-3$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3y=-15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=5$$