Issolvi {l}{y=x-6}{y=-6x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x - 6 } \\ { y = - 6 x + 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=1$$

$$y=-5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=-6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 6x maż-żewġ naħat.

$$y+6x=1$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-x=-6,y+6x=1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-x=-6$$

Żid x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=x-6$$

Issostitwixxi x-6 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y+6x=1.

$$x-6+6x=1$$

Żid x ma' 6x.

$$7x-6=1$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=1$$

Issostitwixxi 1 għal x f'y=x-6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=1-6$$

Żid -6 ma' 1.

$$y=-5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-5,x=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=-6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 6x maż-żewġ naħat.

$$y+6x=1$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-x=-6,y+6x=1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{6-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{6-\left(-1\right)}&\frac{1}{6-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{7}\left(-6\right)+\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-5,x=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=-6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 6x maż-żewġ naħat.

$$y+6x=1$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-x=-6,y+6x=1$$

Naqqas y+6x=1 minn y-x=-6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y-x-6x=-6-1$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-x-6x=-6-1$$

Żid -x ma' -6x.

$$-7x=-6-1$$

Żid -6 ma' -1.

$$-7x=-7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$x=1$$

Issostitwixxi 1 għal x f'y+6x=1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y+6=1$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-5,x=1$$