Issolvi {l}{y=9x+6}{y=x+7}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 9 x + 6 } \\ { y = x + 7 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=\frac{1}{8}=0.125$$

$$y = \frac{57}{8} = 7\frac{1}{8} = 7.125$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 9x miż-żewġ naħat.

$$y-9x=6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=7$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-9x=6,y-x=7$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-9x=6$$

Żid 9x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=9x+6$$

Issostitwixxi 9x+6 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y-x=7.

$$9x+6-x=7$$

Żid 9x ma' -x.

$$8x+6=7$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$8x=1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$x=\frac{1}{8}$$

Issostitwixxi \frac{1}{8} għal x f'y=9x+6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=9\times \frac{1}{8}+6$$

Immultiplika 9 b'\frac{1}{8}.

$$y=\frac{9}{8}+6$$

Żid 6 ma' \frac{9}{8}.

$$y=\frac{57}{8}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{57}{8},x=\frac{1}{8}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 9x miż-żewġ naħat.

$$y-9x=6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=7$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-9x=6,y-x=7$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-9\right)}&-\frac{-9}{-1-\left(-9\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-9\right)}&\frac{1}{-1-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{9}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 6+\frac{9}{8}\times 7\\-\frac{1}{8}\times 6+\frac{1}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{57}{8}\\\frac{1}{8}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=\frac{57}{8},x=\frac{1}{8}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 9x miż-żewġ naħat.

$$y-9x=6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=7$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-9x=6,y-x=7$$

Naqqas y-x=7 minn y-9x=6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y-9x+x=6-7$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-9x+x=6-7$$

Żid -9x ma' x.

$$-8x=6-7$$

Żid 6 ma' -7.

$$-8x=-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$x=\frac{1}{8}$$

Issostitwixxi \frac{1}{8} għal x f'y-x=7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y-\frac{1}{8}=7$$

Żid \frac{1}{8} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=\frac{57}{8}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{57}{8},x=\frac{1}{8}$$