Issolvi {l}{y=7.50p+45}{y=-0.60p+300}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 7.50 p + 45 } \\ { y = - 0.60 p + 300 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, p

$$y = \frac{2530}{9} = 281\frac{1}{9} \approx 281.111111111$$

$$p = \frac{850}{27} = 31\frac{13}{27} \approx 31.481481481$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 7.5p miż-żewġ naħat.

$$y-7.5p=45$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 0.6p maż-żewġ naħat.

$$y+0.6p=300$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-7.5p=45$$

Żid \frac{15p}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=7.5p+45$$

Issostitwixxi \frac{15p}{2}+45 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y+0.6p=300.

$$7.5p+45+0.6p=300$$

Żid \frac{15p}{2} ma' \frac{3p}{5}.

$$8.1p+45=300$$

Naqqas 45 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$8.1p=255$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'8.1, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$p=\frac{850}{27}$$

Issostitwixxi \frac{850}{27} għal p f'y=7.5p+45. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=7.5\times \frac{850}{27}+45$$

Immultiplika 7.5 b'\frac{850}{27} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$y=\frac{2125}{9}+45$$

Żid 45 ma' \frac{2125}{9}.

$$y=\frac{2530}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 7.5p miż-żewġ naħat.

$$y-7.5p=45$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 0.6p maż-żewġ naħat.

$$y+0.6p=300$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.6}{0.6-\left(-7.5\right)}&-\frac{-7.5}{0.6-\left(-7.5\right)}\\-\frac{1}{0.6-\left(-7.5\right)}&\frac{1}{0.6-\left(-7.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{25}{27}\\-\frac{10}{81}&\frac{10}{81}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 45+\frac{25}{27}\times 300\\-\frac{10}{81}\times 45+\frac{10}{81}\times 300\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2530}{9}\\\frac{850}{27}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u p.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 7.5p miż-żewġ naħat.

$$y-7.5p=45$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 0.6p maż-żewġ naħat.

$$y+0.6p=300$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

Naqqas y+0.6p=300 minn y-7.5p=45 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y-7.5p-0.6p=45-300$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-7.5p-0.6p=45-300$$

Żid -\frac{15p}{2} ma' -\frac{3p}{5}.

$$-8.1p=45-300$$

Żid 45 ma' -300.

$$-8.1p=-255$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-8.1, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$p=\frac{850}{27}$$

Issostitwixxi \frac{850}{27} għal p f'y+0.6p=300. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y+0.6\times \frac{850}{27}=300$$

Immultiplika 0.6 b'\frac{850}{27} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$y+\frac{170}{9}=300$$

Naqqas \frac{170}{9} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=\frac{2530}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$