Issolvi {l}{y=4x-2}{y=-x+18}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x - 2 } \\ { y = - x + 18 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=4$$

$$y=14$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 4x miż-żewġ naħat.

$$y-4x=-2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid x maż-żewġ naħat.

$$y+x=18$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-4x=-2,y+x=18$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-4x=-2$$

Żid 4x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=4x-2$$

Issostitwixxi 4x-2 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y+x=18.

$$4x-2+x=18$$

Żid 4x ma' x.

$$5x-2=18$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=4$$

Issostitwixxi 4 għal x f'y=4x-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=4\times 4-2$$

Immultiplika 4 b'4.

$$y=16-2$$

Żid -2 ma' 16.

$$y=14$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=14,x=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 4x miż-żewġ naħat.

$$y-4x=-2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid x maż-żewġ naħat.

$$y+x=18$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-4x=-2,y+x=18$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{1-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-4\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{4}{5}\times 18\\-\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{1}{5}\times 18\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=14,x=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 4x miż-żewġ naħat.

$$y-4x=-2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid x maż-żewġ naħat.

$$y+x=18$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-4x=-2,y+x=18$$

Naqqas y+x=18 minn y-4x=-2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y-4x-x=-2-18$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-4x-x=-2-18$$

Żid -4x ma' -x.

$$-5x=-2-18$$

Żid -2 ma' -18.

$$-5x=-20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=4$$

Issostitwixxi 4 għal x f'y+x=18. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y+4=18$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=14$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=14,x=4$$