Issolvi {l}{y=3x+1}{y=6x+4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x + 1 } \\ { y = 6 x + 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$y-3x=1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 6x miż-żewġ naħat.

$$y-6x=4$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-3x=1,y-6x=4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-3x=1$$

Żid 3x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=3x+1$$

Issostitwixxi 3x+1 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y-6x=4.

$$3x+1-6x=4$$

Żid 3x ma' -6x.

$$-3x+1=4$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3x=3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$x=-1$$

Issostitwixxi -1 għal x f'y=3x+1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=3\left(-1\right)+1$$

Immultiplika 3 b'-1.

$$y=-3+1$$

Żid 1 ma' -3.

$$y=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-2,x=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$y-3x=1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 6x miż-żewġ naħat.

$$y-6x=4$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-3x=1,y-6x=4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-6-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-6-\left(-3\right)}&\frac{1}{-6-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-4\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-2,x=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$y-3x=1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 6x miż-żewġ naħat.

$$y-6x=4$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-3x=1,y-6x=4$$

Naqqas y-6x=4 minn y-3x=1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y-3x+6x=1-4$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3x+6x=1-4$$

Żid -3x ma' 6x.

$$3x=1-4$$

Żid 1 ma' -4.

$$3x=-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=-1$$

Issostitwixxi -1 għal x f'y-6x=4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y-6\left(-1\right)=4$$

Immultiplika -6 b'-1.

$$y+6=4$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-2,x=-1$$