Issolvi {l}{y=2x}{300x+200y=7000}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x } \\ { 300 x + 200 y = 7000 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=10$$

$$y=20$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-2x=0$$

Żid 2x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=2x$$

Issostitwixxi 2x għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, 200y+300x=7000.

$$200\times 2x+300x=7000$$

Immultiplika 200 b'2x.

$$400x+300x=7000$$

Żid 400x ma' 300x.

$$700x=7000$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'700.

$$x=10$$

Issostitwixxi 10 għal x f'y=2x. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=2\times 10$$

Immultiplika 2 b'10.

$$y=20$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=20,x=10$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{300-\left(-2\times 200\right)}&-\frac{-2}{300-\left(-2\times 200\right)}\\-\frac{200}{300-\left(-2\times 200\right)}&\frac{1}{300-\left(-2\times 200\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{1}{350}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{700}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{350}\times 7000\\\frac{1}{700}\times 7000\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=20,x=10$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

Biex tagħmel y u 200y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'200 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$200y+200\left(-2\right)x=0,200y+300x=7000$$

Issimplifika.

$$200y-400x=0,200y+300x=7000$$

Naqqas 200y+300x=7000 minn 200y-400x=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$200y-200y-400x-300x=-7000$$

Żid 200y ma' -200y. 200y u -200y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-400x-300x=-7000$$

Żid -400x ma' -300x.

$$-700x=-7000$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-700.

$$x=10$$

Issostitwixxi 10 għal x f'200y+300x=7000. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$200y+300\times 10=7000$$

Immultiplika 300 b'10.

$$200y+3000=7000$$

Naqqas 3000 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$200y=4000$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'200.

$$y=20$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=20,x=10$$