Issolvi {l}{y=2x+8}{3x+2y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 8 } \\ { 3 x + 2 y = - 12 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=-4$$

$$y=0$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=8$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-2x=8$$

Żid 2x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=2x+8$$

Issostitwixxi 8+2x għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, 2y+3x=-12.

$$2\left(2x+8\right)+3x=-12$$

Immultiplika 2 b'8+2x.

$$4x+16+3x=-12$$

Żid 4x ma' 3x.

$$7x+16=-12$$

Naqqas 16 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=-28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=-4$$

Issostitwixxi -4 għal x f'y=2x+8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=2\left(-4\right)+8$$

Immultiplika 2 b'-4.

$$y=-8+8$$

Żid 8 ma' -8.

$$y=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=0,x=-4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=8$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 8+\frac{2}{7}\left(-12\right)\\-\frac{2}{7}\times 8+\frac{1}{7}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=0,x=-4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=8$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

Biex tagħmel y u 2y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\times 8,2y+3x=-12$$

Issimplifika.

$$2y-4x=16,2y+3x=-12$$

Naqqas 2y+3x=-12 minn 2y-4x=16 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2y-2y-4x-3x=16+12$$

Żid 2y ma' -2y. 2y u -2y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-4x-3x=16+12$$

Żid -4x ma' -3x.

$$-7x=16+12$$

Żid 16 ma' 12.

$$-7x=28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$x=-4$$

Issostitwixxi -4 għal x f'2y+3x=-12. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$2y+3\left(-4\right)=-12$$

Immultiplika 3 b'-4.

$$2y-12=-12$$

Żid 12 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=0,x=-4$$