Issolvi {l}{y=2x+3}{y=-3x-6}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 3 } \\ { y = - 3 x - 6 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x = -\frac{9}{5} = -1\frac{4}{5} = -1.8$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=3$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 3x maż-żewġ naħat.

$$y+3x=-6$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-2x=3,y+3x=-6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-2x=3$$

Żid 2x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=2x+3$$

Issostitwixxi 2x+3 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y+3x=-6.

$$2x+3+3x=-6$$

Żid 2x ma' 3x.

$$5x+3=-6$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=-\frac{9}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{9}{5} għal x f'y=2x+3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=2\left(-\frac{9}{5}\right)+3$$

Immultiplika 2 b'-\frac{9}{5}.

$$y=-\frac{18}{5}+3$$

Żid 3 ma' -\frac{18}{5}.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{3}{5},x=-\frac{9}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=3$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 3x maż-żewġ naħat.

$$y+3x=-6$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-2x=3,y+3x=-6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 3+\frac{2}{5}\left(-6\right)\\-\frac{1}{5}\times 3+\frac{1}{5}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-\frac{3}{5},x=-\frac{9}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=3$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 3x maż-żewġ naħat.

$$y+3x=-6$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-2x=3,y+3x=-6$$

Naqqas y+3x=-6 minn y-2x=3 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y-2x-3x=3+6$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-2x-3x=3+6$$

Żid -2x ma' -3x.

$$-5x=3+6$$

Żid 3 ma' 6.

$$-5x=9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=-\frac{9}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{9}{5} għal x f'y+3x=-6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y+3\left(-\frac{9}{5}\right)=-6$$

Immultiplika 3 b'-\frac{9}{5}.

$$y-\frac{27}{5}=-6$$

Żid \frac{27}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{3}{5},x=-\frac{9}{5}$$