Issolvi {l}{y=-6x+2}{y=-x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 6 x + 2 } \\ { y = - x - 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=1$$

$$y=-4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 6x maż-żewġ naħat.

$$y+6x=2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid x maż-żewġ naħat.

$$y+x=-3$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y+6x=2,y+x=-3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y+6x=2$$

Naqqas 6x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-6x+2$$

Issostitwixxi -6x+2 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y+x=-3.

$$-6x+2+x=-3$$

Żid -6x ma' x.

$$-5x+2=-3$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x=-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=1$$

Issostitwixxi 1 għal x f'y=-6x+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-6+2$$

Żid 2 ma' -6.

$$y=-4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-4,x=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 6x maż-żewġ naħat.

$$y+6x=2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid x maż-żewġ naħat.

$$y+x=-3$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y+6x=2,y+x=-3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&6\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-6}&-\frac{6}{1-6}\\-\frac{1}{1-6}&\frac{1}{1-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{6}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 2+\frac{6}{5}\left(-3\right)\\\frac{1}{5}\times 2-\frac{1}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-4,x=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 6x maż-żewġ naħat.

$$y+6x=2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid x maż-żewġ naħat.

$$y+x=-3$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y+6x=2,y+x=-3$$

Naqqas y+x=-3 minn y+6x=2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y+6x-x=2+3$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$6x-x=2+3$$

Żid 6x ma' -x.

$$5x=2+3$$

Żid 2 ma' 3.

$$5x=5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=1$$

Issostitwixxi 1 għal x f'y+x=-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y+1=-3$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-4,x=1$$