Issolvi {l}{y=-4x-17}{-2x+6y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 4 x - 17 } \\ { - 2 x + 6 y = 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=-4$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 4x maż-żewġ naħat.

$$y+4x=-17$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y+4x=-17$$

Naqqas 4x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-4x-17$$

Issostitwixxi -4x-17 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, 6y-2x=2.

$$6\left(-4x-17\right)-2x=2$$

Immultiplika 6 b'-4x-17.

$$-24x-102-2x=2$$

Żid -24x ma' -2x.

$$-26x-102=2$$

Żid 102 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-26x=104$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-26.

$$x=-4$$

Issostitwixxi -4 għal x f'y=-4x-17. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-4\left(-4\right)-17$$

Immultiplika -4 b'-4.

$$y=16-17$$

Żid -17 ma' 16.

$$y=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-1,x=-4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 4x maż-żewġ naħat.

$$y+4x=-17$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-4\times 6}&-\frac{4}{-2-4\times 6}\\-\frac{6}{-2-4\times 6}&\frac{1}{-2-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-17\right)+\frac{2}{13}\times 2\\\frac{3}{13}\left(-17\right)-\frac{1}{26}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-1,x=-4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 4x maż-żewġ naħat.

$$y+4x=-17$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

Biex tagħmel y u 6y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$6y+6\times 4x=6\left(-17\right),6y-2x=2$$

Issimplifika.

$$6y+24x=-102,6y-2x=2$$

Naqqas 6y-2x=2 minn 6y+24x=-102 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6y-6y+24x+2x=-102-2$$

Żid 6y ma' -6y. 6y u -6y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$24x+2x=-102-2$$

Żid 24x ma' 2x.

$$26x=-102-2$$

Żid -102 ma' -2.

$$26x=-104$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'26.

$$x=-4$$

Issostitwixxi -4 għal x f'6y-2x=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$6y-2\left(-4\right)=2$$

Immultiplika -2 b'-4.

$$6y+8=2$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6y=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$y=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-1,x=-4$$