Issolvi {l}{y=-3x+1}{y=3x-5}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 3 x + 1 } \\ { y = 3 x - 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=1$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 3x maż-żewġ naħat.

$$y+3x=1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$y-3x=-5$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y+3x=1,y-3x=-5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y+3x=1$$

Naqqas 3x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-3x+1$$

Issostitwixxi -3x+1 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y-3x=-5.

$$-3x+1-3x=-5$$

Żid -3x ma' -3x.

$$-6x+1=-5$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-6x=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$x=1$$

Issostitwixxi 1 għal x f'y=-3x+1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-3+1$$

Żid 1 ma' -3.

$$y=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-2,x=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 3x maż-żewġ naħat.

$$y+3x=1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$y-3x=-5$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y+3x=1,y-3x=-5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&3\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), biex l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala l-problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-3}&-\frac{3}{-3-3}\\-\frac{1}{-3-3}&\frac{1}{-3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-5\right)\\\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-2,x=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 3x maż-żewġ naħat.

$$y+3x=1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$y-3x=-5$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y+3x=1,y-3x=-5$$

Naqqas y-3x=-5 minn y+3x=1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y+3x+3x=1+5$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3x+3x=1+5$$

Żid 3x ma' 3x.

$$6x=1+5$$

Żid 1 ma' 5.

$$6x=6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=1$$

Issostitwixxi 1 għal x f'y-3x=-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y-3=-5$$

Żid 3 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-2,x=1$$