Issolvi {l}{y=-2x+2}{y+6=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x + 2 } \\ { y + 6 = 2 x } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=2$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 2x maż-żewġ naħat.

$$y+2x=2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y+6-2x=0$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$y-2x=-6$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y+2x=2,y-2x=-6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y+2x=2$$

Naqqas 2x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-2x+2$$

Issostitwixxi -2x+2 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y-2x=-6.

$$-2x+2-2x=-6$$

Żid -2x ma' -2x.

$$-4x+2=-6$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4x=-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$x=2$$

Issostitwixxi 2 għal x f'y=-2x+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-2\times 2+2$$

Immultiplika -2 b'2.

$$y=-4+2$$

Żid 2 ma' -4.

$$y=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-2,x=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 2x maż-żewġ naħat.

$$y+2x=2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y+6-2x=0$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$y-2x=-6$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y+2x=2,y-2x=-6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{2}{-2-2}\\-\frac{1}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\left(-6\right)\\\frac{1}{4}\times 2-\frac{1}{4}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-2,x=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 2x maż-żewġ naħat.

$$y+2x=2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y+6-2x=0$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$y-2x=-6$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y+2x=2,y-2x=-6$$

Naqqas y-2x=-6 minn y+2x=2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y+2x+2x=2+6$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2x+2x=2+6$$

Żid 2x ma' 2x.

$$4x=2+6$$

Żid 2 ma' 6.

$$4x=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=2$$

Issostitwixxi 2 għal x f'y-2x=-6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y-2\times 2=-6$$

Immultiplika -2 b'2.

$$y-4=-6$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-2,x=2$$