Issolvi {l}{y=-7/3x+3}{y=-2/3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - \frac { 7 } { 3 } x + 3 } \\ { y = - \frac { 2 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=3$$

$$y=-4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid \frac{7}{3}x maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid \frac{2}{3}x maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Naqqas \frac{7x}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-\frac{7}{3}x+3$$

Issostitwixxi -\frac{7x}{3}+3 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y+\frac{2}{3}x=-2.

$$-\frac{7}{3}x+3+\frac{2}{3}x=-2$$

Żid -\frac{7x}{3} ma' \frac{2x}{3}.

$$-\frac{5}{3}x+3=-2$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{5}{3}x=-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{5}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=3$$

Issostitwixxi 3 għal x f'y=-\frac{7}{3}x+3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-\frac{7}{3}\times 3+3$$

Immultiplika -\frac{7}{3} b'3.

$$y=-7+3$$

Żid 3 ma' -7.

$$y=-4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-4,x=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid \frac{7}{3}x maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid \frac{2}{3}x maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}&-\frac{\frac{7}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 3+\frac{7}{5}\left(-2\right)\\\frac{3}{5}\times 3-\frac{3}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-4,x=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid \frac{7}{3}x maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid \frac{2}{3}x maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

Naqqas y+\frac{2}{3}x=-2 minn y+\frac{7}{3}x=3 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y+\frac{7}{3}x-\frac{2}{3}x=3+2$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$\frac{7}{3}x-\frac{2}{3}x=3+2$$

Żid \frac{7x}{3} ma' -\frac{2x}{3}.

$$\frac{5}{3}x=3+2$$

Żid 3 ma' 2.

$$\frac{5}{3}x=5$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{5}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=3$$

Issostitwixxi 3 għal x f'y+\frac{2}{3}x=-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y+\frac{2}{3}\times 3=-2$$

Immultiplika \frac{2}{3} b'3.

$$y+2=-2$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-4,x=3$$