Issolvi {l}{y=-1/2x+1}{y=1/2x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=4$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid \frac{1}{2}x maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{2}x=-3$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Naqqas \frac{x}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-\frac{1}{2}x+1$$

Issostitwixxi -\frac{x}{2}+1 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y-\frac{1}{2}x=-3.

$$-\frac{1}{2}x+1-\frac{1}{2}x=-3$$

Żid -\frac{x}{2} ma' -\frac{x}{2}.

$$-x+1=-3$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=4$$

Issostitwixxi 4 għal x f'y=-\frac{1}{2}x+1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-\frac{1}{2}\times 4+1$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'4.

$$y=-2+1$$

Żid 1 ma' -2.

$$y=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-1,x=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid \frac{1}{2}x maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{2}x=-3$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\\-\frac{1}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}&\frac{1}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\1-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-1,x=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid \frac{1}{2}x maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{2}x=-3$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3$$

Naqqas y-\frac{1}{2}x=-3 minn y+\frac{1}{2}x=1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x=1+3$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x=1+3$$

Żid \frac{x}{2} ma' \frac{x}{2}.

$$x=1+3$$

Żid 1 ma' 3.

$$x=4$$

Issostitwixxi 4 għal x f'y-\frac{1}{2}x=-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y-\frac{1}{2}\times 4=-3$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'4.

$$y-2=-3$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-1,x=4$$