Issolvi {l}{y=x/20}{y=(80+x)*1/30}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x } { 20 } } \\ { y = ( 80 + x ) \times \frac { 1 } { 30 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=160$$

$$y=8$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{x}{20} miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'20.

$$20y-x=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 80+x b'\frac{1}{30}.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

Naqqas \frac{1}{30}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$20y-x=0$$

Żid x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$20y=x$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'20.

$$y=\frac{1}{20}x$$

Issostitwixxi \frac{x}{20} għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}.

$$\frac{1}{20}x-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Żid \frac{x}{20} ma' -\frac{x}{30}.

$$\frac{1}{60}x=\frac{8}{3}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'60.

$$x=160$$

Issostitwixxi 160 għal x f'y=\frac{1}{20}x. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=\frac{1}{20}\times 160$$

Immultiplika \frac{1}{20} b'160.

$$y=8$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=8,x=160$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{x}{20} miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'20.

$$20y-x=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 80+x b'\frac{1}{30}.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

Naqqas \frac{1}{30}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{30}}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}&\frac{20}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&3\\-3&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times \frac{8}{3}\\60\times \frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\160\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=8,x=160$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{x}{20} miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'20.

$$20y-x=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 80+x b'\frac{1}{30}.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

Naqqas \frac{1}{30}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Biex tagħmel 20y u y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'20.

$$20y-x=0,20y+20\left(-\frac{1}{30}\right)x=20\times \frac{8}{3}$$

Issimplifika.

$$20y-x=0,20y-\frac{2}{3}x=\frac{160}{3}$$

Naqqas 20y-\frac{2}{3}x=\frac{160}{3} minn 20y-x=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$20y-20y-x+\frac{2}{3}x=-\frac{160}{3}$$

Żid 20y ma' -20y. 20y u -20y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-x+\frac{2}{3}x=-\frac{160}{3}$$

Żid -x ma' \frac{2x}{3}.

$$-\frac{1}{3}x=-\frac{160}{3}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-3.

$$x=160$$

Issostitwixxi 160 għal x f'y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y-\frac{1}{30}\times 160=\frac{8}{3}$$

Immultiplika -\frac{1}{30} b'160.

$$y-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}$$

Żid \frac{16}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=8$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=8,x=160$$