Issolvi {l}{y=x+3/2+3}{y=2x+10}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x + 3 } { 2 } + 3 } \\ { y = 2 x + 10 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Iddividi kull terminu ta' x+3 b'2 biex tikseb\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

Żid \frac{3}{2} u 3 biex tikseb \frac{9}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

Issostitwixxi \frac{9+x}{2} għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y-2x=10.

$$\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}-2x=10$$

Żid \frac{x}{2} ma' -2x.

$$-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}=10$$

Naqqas \frac{9}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{3}{2}x=\frac{11}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{3}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{11}{3} għal x f'y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=\frac{1}{2}\left(-\frac{11}{3}\right)+\frac{9}{2}$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-\frac{11}{3} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$y=-\frac{11}{6}+\frac{9}{2}$$

Żid \frac{9}{2} ma' -\frac{11}{6} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$y=\frac{8}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Iddividi kull terminu ta' x+3 b'2 biex tikseb\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

Żid \frac{3}{2} u 3 biex tikseb \frac{9}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

Naqqas \frac{1}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=10$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2},y-2x=10$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times \frac{9}{2}-\frac{1}{3}\times 10\\\frac{2}{3}\times \frac{9}{2}-\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Iddividi kull terminu ta' x+3 b'2 biex tikseb\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

Żid \frac{3}{2} u 3 biex tikseb \frac{9}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

Naqqas \frac{1}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=10$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2},y-2x=10$$

Naqqas y-2x=10 minn y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2} billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y-\frac{1}{2}x+2x=\frac{9}{2}-10$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-\frac{1}{2}x+2x=\frac{9}{2}-10$$

Żid -\frac{x}{2} ma' 2x.

$$\frac{3}{2}x=\frac{9}{2}-10$$

Żid \frac{9}{2} ma' -10.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{11}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{3}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{11}{3} għal x f'y-2x=10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y-2\left(-\frac{11}{3}\right)=10$$

Immultiplika -2 b'-\frac{11}{3}.

$$y+\frac{22}{3}=10$$

Naqqas \frac{22}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=\frac{8}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$