Issolvi {l}{y=3/2x-1}{-x+y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 3 } { 2 } x - 1 } \\ { - x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=-4$$

$$y=-7$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{3}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{3}{2}x=-1$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-\frac{3}{2}x=-1,y-x=-3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-\frac{3}{2}x=-1$$

Żid \frac{3x}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=\frac{3}{2}x-1$$

Issostitwixxi \frac{3x}{2}-1 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y-x=-3.

$$\frac{3}{2}x-1-x=-3$$

Żid \frac{3x}{2} ma' -x.

$$\frac{1}{2}x-1=-3$$

Żid 1 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{2}x=-2$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'2.

$$x=-4$$

Issostitwixxi -4 għal x f'y=\frac{3}{2}x-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=\frac{3}{2}\left(-4\right)-1$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'-4.

$$y=-6-1$$

Żid -1 ma' -6.

$$y=-7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-7,x=-4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{3}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{3}{2}x=-1$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-\frac{3}{2}x=-1,y-x=-3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-\frac{3}{2}\right)}&-\frac{-\frac{3}{2}}{-1-\left(-\frac{3}{2}\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-\frac{3}{2}\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\frac{3}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&3\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-1\right)+3\left(-3\right)\\-2\left(-1\right)+2\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-7,x=-4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{3}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{3}{2}x=-1$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-\frac{3}{2}x=-1,y-x=-3$$

Naqqas y-x=-3 minn y-\frac{3}{2}x=-1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y-\frac{3}{2}x+x=-1+3$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-\frac{3}{2}x+x=-1+3$$

Żid -\frac{3x}{2} ma' x.

$$-\frac{1}{2}x=-1+3$$

Żid -1 ma' 3.

$$-\frac{1}{2}x=2$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-4$$

Issostitwixxi -4 għal x f'y-x=-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y-\left(-4\right)=-3$$

Immultiplika -1 b'-4.

$$y+4=-3$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-7,x=-4$$