Issolvi {l}{y=1/3x+6}{y=1/9x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 9 } x - 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x = -\frac{63}{2} = -31\frac{1}{2} = -31.5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{3}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{9}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Żid \frac{x}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=\frac{1}{3}x+6$$

Issostitwixxi \frac{x}{3}+6 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y-\frac{1}{9}x=-1.

$$\frac{1}{3}x+6-\frac{1}{9}x=-1$$

Żid \frac{x}{3} ma' -\frac{x}{9}.

$$\frac{2}{9}x+6=-1$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{2}{9}x=-7$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{2}{9}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=-\frac{63}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{63}{2} għal x f'y=\frac{1}{3}x+6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=\frac{1}{3}\left(-\frac{63}{2}\right)+6$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-\frac{63}{2} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$y=-\frac{21}{2}+6$$

Żid 6 ma' -\frac{21}{2}.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{3}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{9}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{9}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{2}\left(-1\right)\\-\frac{9}{2}\times 6+\frac{9}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2}\\-\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{3}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{9}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Naqqas y-\frac{1}{9}x=-1 minn y-\frac{1}{3}x=6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

Żid -\frac{x}{3} ma' \frac{x}{9}.

$$-\frac{2}{9}x=6+1$$

Żid 6 ma' 1.

$$-\frac{2}{9}x=7$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{2}{9}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=-\frac{63}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{63}{2} għal x f'y-\frac{1}{9}x=-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y-\frac{1}{9}\left(-\frac{63}{2}\right)=-1$$

Immultiplika -\frac{1}{9} b'-\frac{63}{2} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$y+\frac{7}{2}=-1$$

Naqqas \frac{7}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$