Issolvi {l}{y=1/3x+1}{y=4/3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 1 } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=3$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{3}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{4}{3}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Żid \frac{x}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=\frac{1}{3}x+1$$

Issostitwixxi \frac{x}{3}+1 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y-\frac{4}{3}x=-2.

$$\frac{1}{3}x+1-\frac{4}{3}x=-2$$

Żid \frac{x}{3} ma' -\frac{4x}{3}.

$$-x+1=-2$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=3$$

Issostitwixxi 3 għal x f'y=\frac{1}{3}x+1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=\frac{1}{3}\times 3+1$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'3.

$$y=1+1$$

Żid 1 ma' 1.

$$y=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=2,x=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{3}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{4}{3}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\1-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=2,x=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{3}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{4}{3}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Naqqas y-\frac{4}{3}x=-2 minn y-\frac{1}{3}x=1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

Żid -\frac{x}{3} ma' \frac{4x}{3}.

$$x=1+2$$

Żid 1 ma' 2.

$$x=3$$

Issostitwixxi 3 għal x f'y-\frac{4}{3}x=-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y-\frac{4}{3}\times 3=-2$$

Immultiplika -\frac{4}{3} b'3.

$$y-4=-2$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=2,x=3$$