Issolvi {l}{y=1/2x-2}{y=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x - 2 } \\ { y = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=-2$$

$$y=-3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{2}x=-2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=1$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-\frac{1}{2}x=-2,y-2x=1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-\frac{1}{2}x=-2$$

Żid \frac{x}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=\frac{1}{2}x-2$$

Issostitwixxi \frac{x}{2}-2 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y-2x=1.

$$\frac{1}{2}x-2-2x=1$$

Żid \frac{x}{2} ma' -2x.

$$-\frac{3}{2}x-2=1$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{3}{2}x=3$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{3}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=-2$$

Issostitwixxi -2 għal x f'y=\frac{1}{2}x-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=\frac{1}{2}\left(-2\right)-2$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-2.

$$y=-1-2$$

Żid -2 ma' -1.

$$y=-3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-3,x=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{2}x=-2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=1$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-\frac{1}{2}x=-2,y-2x=1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\left(-2\right)-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-3,x=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{2}x=-2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=1$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-\frac{1}{2}x=-2,y-2x=1$$

Naqqas y-2x=1 minn y-\frac{1}{2}x=-2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y-\frac{1}{2}x+2x=-2-1$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-\frac{1}{2}x+2x=-2-1$$

Żid -\frac{x}{2} ma' 2x.

$$\frac{3}{2}x=-2-1$$

Żid -2 ma' -1.

$$\frac{3}{2}x=-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{3}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=-2$$

Issostitwixxi -2 għal x f'y-2x=1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y-2\left(-2\right)=1$$

Immultiplika -2 b'-2.

$$y+4=1$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-3,x=-2$$