Issolvi {l}{y=1/2x+1}{2y+3x=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { 2 y + 3 x = - 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=-1$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Żid \frac{x}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=\frac{1}{2}x+1$$

Issostitwixxi \frac{x}{2}+1 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, 2y+3x=-2.

$$2\left(\frac{1}{2}x+1\right)+3x=-2$$

Immultiplika 2 b'\frac{x}{2}+1.

$$x+2+3x=-2$$

Żid x ma' 3x.

$$4x+2=-2$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=-1$$

Issostitwixxi -1 għal x f'y=\frac{1}{2}x+1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=\frac{1}{2}\left(-1\right)+1$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-1.

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

Żid 1 ma' -\frac{1}{2}.

$$y=\frac{1}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{2}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Biex tagħmel y u 2y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$2y+2\left(-\frac{1}{2}\right)x=2,2y+3x=-2$$

Issimplifika.

$$2y-x=2,2y+3x=-2$$

Naqqas 2y+3x=-2 minn 2y-x=2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2y-2y-x-3x=2+2$$

Żid 2y ma' -2y. 2y u -2y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-x-3x=2+2$$

Żid -x ma' -3x.

$$-4x=2+2$$

Żid 2 ma' 2.

$$-4x=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$x=-1$$

Issostitwixxi -1 għal x f'2y+3x=-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$2y+3\left(-1\right)=-2$$

Immultiplika 3 b'-1.

$$2y-3=-2$$

Żid 3 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y=1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=\frac{1}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$