Issolvi {l}{y+4x-6=0}{3x-y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 4 x - 6 = 0 } \\ { 3 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7} \approx 1.857142857$$

$$y = -\frac{10}{7} = -1\frac{3}{7} \approx -1.428571429$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y+4x-6=0$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y+4x=6$$

Naqqas 4x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-4x+6$$

Issostitwixxi -4x+6 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, -y+3x=7.

$$-\left(-4x+6\right)+3x=7$$

Immultiplika -1 b'-4x+6.

$$4x-6+3x=7$$

Żid 4x ma' 3x.

$$7x-6=7$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=13$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=\frac{13}{7}$$

Issostitwixxi \frac{13}{7} għal x f'y=-4x+6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-4\times \frac{13}{7}+6$$

Immultiplika -4 b'\frac{13}{7}.

$$y=-\frac{52}{7}+6$$

Żid 6 ma' -\frac{52}{7}.

$$y=-\frac{10}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-4\left(-1\right)}&\frac{1}{3-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 6-\frac{4}{7}\times 7\\\frac{1}{7}\times 6+\frac{1}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\\\frac{13}{7}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

Biex tagħmel y u -y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-y-4x-\left(-6\right)=0,-y+3x=7$$

Issimplifika.

$$-y-4x+6=0,-y+3x=7$$

Naqqas -y+3x=7 minn -y-4x+6=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-y+y-4x-3x+6=-7$$

Żid -y ma' y. -y u y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-4x-3x+6=-7$$

Żid -4x ma' -3x.

$$-7x+6=-7$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-7x=-13$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$x=\frac{13}{7}$$

Issostitwixxi \frac{13}{7} għal x f'-y+3x=7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$-y+3\times \frac{13}{7}=7$$

Immultiplika 3 b'\frac{13}{7}.

$$-y+\frac{39}{7}=7$$

Naqqas \frac{39}{7} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-y=\frac{10}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=-\frac{10}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$