Issolvi {l}{y+3x=56}{x+4y=34}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 3 x = 56 } \\ { x + 4 y = 34 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x = \frac{190}{11} = 17\frac{3}{11} \approx 17.272727273$$

$$y = \frac{46}{11} = 4\frac{2}{11} \approx 4.181818182$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y+3x=56$$

Naqqas 3x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-3x+56$$

Issostitwixxi -3x+56 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, 4y+x=34.

$$4\left(-3x+56\right)+x=34$$

Immultiplika 4 b'-3x+56.

$$-12x+224+x=34$$

Żid -12x ma' x.

$$-11x+224=34$$

Naqqas 224 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-11x=-190$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-11.

$$x=\frac{190}{11}$$

Issostitwixxi \frac{190}{11} għal x f'y=-3x+56. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-3\times \frac{190}{11}+56$$

Immultiplika -3 b'\frac{190}{11}.

$$y=-\frac{570}{11}+56$$

Żid 56 ma' -\frac{570}{11}.

$$y=\frac{46}{11}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), biex l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala l-problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 4}&-\frac{3}{1-3\times 4}\\-\frac{4}{1-3\times 4}&\frac{1}{1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 56+\frac{3}{11}\times 34\\\frac{4}{11}\times 56-\frac{1}{11}\times 34\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{11}\\\frac{190}{11}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

Biex tagħmel y u 4y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$4y+4\times 3x=4\times 56,4y+x=34$$

Issimplifika.

$$4y+12x=224,4y+x=34$$

Naqqas 4y+x=34 minn 4y+12x=224 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4y-4y+12x-x=224-34$$

Żid 4y ma' -4y. 4y u -4y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$12x-x=224-34$$

Żid 12x ma' -x.

$$11x=224-34$$

Żid 224 ma' -34.

$$11x=190$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'11.

$$x=\frac{190}{11}$$

Issostitwixxi \frac{190}{11} għal x f'4y+x=34. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$4y+\frac{190}{11}=34$$

Naqqas \frac{190}{11} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4y=\frac{184}{11}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$y=\frac{46}{11}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$