Issolvi {l}{x_{6}=3x+y}{x_{3}=3y+x}

$$\left. \begin{array} { l } { x _ { 6 } = 3 x + y } \\ { x _ { 3 } = 3 y + x } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}$$

$$y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$3x+y=x_{6}$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$3y+x=x_{3}$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+y=x_{6},x+3y=x_{3}$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+y=x_{6}$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-y+x_{6}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+x_{6}\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-y+x_{6}.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{x_{6}}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-y+x_{6}}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+3y=x_{3}.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{x_{6}}{3}+3y=x_{3}$$

Żid -\frac{y}{3} ma' 3y.

$$\frac{8}{3}y+\frac{x_{6}}{3}=x_{3}$$

Naqqas \frac{x_{6}}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{8}{3}y=-\frac{x_{6}}{3}+x_{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{8}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

Issostitwixxi \frac{3x_{3}-x_{6}}{8} għal y f'x=-\frac{1}{3}y+\frac{x_{6}}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{3x_{3}-x_{6}}{8}+\frac{x_{6}}{3}$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}.

$$x=\frac{x_{6}}{24}-\frac{x_{3}}{8}+\frac{x_{6}}{3}$$

Żid \frac{x_{6}}{3} ma' -\frac{x_{3}}{8}+\frac{x_{6}}{24}.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8},y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$3x+y=x_{6}$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$3y+x=x_{3}$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+y=x_{6},x+3y=x_{3}$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-1}&-\frac{1}{3\times 3-1}\\-\frac{1}{3\times 3-1}&\frac{3}{3\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}x_{6}-\frac{1}{8}x_{3}\\-\frac{1}{8}x_{6}+\frac{3}{8}x_{3}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}\\\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8},y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$3x+y=x_{6}$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$3y+x=x_{3}$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+y=x_{6},x+3y=x_{3}$$

Biex tagħmel 3x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$3x+y=x_{6},3x+3\times 3y=3x_{3}$$

Issimplifika.

$$3x+y=x_{6},3x+9y=3x_{3}$$

Naqqas 3x+9y=3x_{3} minn 3x+y=x_{6} billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3x-3x+y-9y=x_{6}-3x_{3}$$

Żid 3x ma' -3x. 3x u -3x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$y-9y=x_{6}-3x_{3}$$

Żid y ma' -9y.

$$-8y=x_{6}-3x_{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

Issostitwixxi \frac{-x_{6}+3x_{3}}{8} għal y f'x+3y=x_{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+3\times \frac{3x_{3}-x_{6}}{8}=x_{3}$$

Immultiplika 3 b'\frac{-x_{6}+3x_{3}}{8}.

$$x+\frac{9x_{3}-3x_{6}}{8}=x_{3}$$

Naqqas \frac{-3x_{6}+9x_{3}}{8} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8},y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$