Issolvi {l}{x-y=3}{2x+3y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 3 } \\ { 2 x + 3 y = 19 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{28}{5} = 5\frac{3}{5} = 5.6$$

$$y = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2.6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-y=3,2x+3y=19$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-y=3$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=y+3$$

Issostitwixxi y+3 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+3y=19.

$$2\left(y+3\right)+3y=19$$

Immultiplika 2 b'y+3.

$$2y+6+3y=19$$

Żid 2y ma' 3y.

$$5y+6=19$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5y=13$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=\frac{13}{5}$$

Issostitwixxi \frac{13}{5} għal y f'x=y+3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{13}{5}+3$$

Żid 3 ma' \frac{13}{5}.

$$x=\frac{28}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{13}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-y=3,2x+3y=19$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 3+\frac{1}{5}\times 19\\-\frac{2}{5}\times 3+\frac{1}{5}\times 19\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{5}\\\frac{13}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{13}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-y=3,2x+3y=19$$

Biex tagħmel x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 3,2x+3y=19$$

Issimplifika.

$$2x-2y=6,2x+3y=19$$

Naqqas 2x+3y=19 minn 2x-2y=6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x-2y-3y=6-19$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-2y-3y=6-19$$

Żid -2y ma' -3y.

$$-5y=6-19$$

Żid 6 ma' -19.

$$-5y=-13$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=\frac{13}{5}$$

Issostitwixxi \frac{13}{5} għal y f'2x+3y=19. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+3\times \frac{13}{5}=19$$

Immultiplika 3 b'\frac{13}{5}.

$$2x+\frac{39}{5}=19$$

Naqqas \frac{39}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=\frac{56}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{28}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{13}{5}$$