Issolvi {l}{x-y=2}{2x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 2 } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-y=2,2x+y=4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-y=2$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=y+2$$

Issostitwixxi y+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+y=4.

$$2\left(y+2\right)+y=4$$

Immultiplika 2 b'y+2.

$$2y+4+y=4$$

Żid 2y ma' y.

$$3y+4=4$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'x=y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-y=2,2x+y=4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 2+\frac{1}{3}\times 4\\-\frac{2}{3}\times 2+\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=0$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-y=2,2x+y=4$$

Biex tagħmel x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 2,2x+y=4$$

Issimplifika.

$$2x-2y=4,2x+y=4$$

Naqqas 2x+y=4 minn 2x-2y=4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x-2y-y=4-4$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-2y-y=4-4$$

Żid -2y ma' -y.

$$-3y=4-4$$

Żid 4 ma' -4.

$$-3y=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=0$$

Issostitwixxi 0 għal y f'2x+y=4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=0$$