Issolvi {l}{x-y=2}{3/2x+4y=191/2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 2 } \\ { \frac { 3 } { 2 } x + 4 y = 19 \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=5$$

$$y=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-y=2,\frac{3}{2}x+4y=\frac{39}{2}$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-y=2$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=y+2$$

Issostitwixxi y+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, \frac{3}{2}x+4y=\frac{39}{2}.

$$\frac{3}{2}\left(y+2\right)+4y=\frac{39}{2}$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'y+2.

$$\frac{3}{2}y+3+4y=\frac{39}{2}$$

Żid \frac{3y}{2} ma' 4y.

$$\frac{11}{2}y+3=\frac{39}{2}$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{11}{2}y=\frac{33}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{11}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'x=y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=3+2$$

Żid 2 ma' 3.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-y=2,\frac{3}{2}x+4y=\frac{39}{2}$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{3}{2}&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\\frac{39}{2}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{3}{2}&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{3}{2}&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{3}{2}&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{3}{2}&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\\frac{39}{2}\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{3}{2}&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\\frac{39}{2}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{3}{2}&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\\frac{39}{2}\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-\frac{3}{2}\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-\frac{3}{2}\right)}\\-\frac{\frac{3}{2}}{4-\left(-\frac{3}{2}\right)}&\frac{1}{4-\left(-\frac{3}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\\frac{39}{2}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\\frac{39}{2}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{11}\times 2+\frac{2}{11}\times \frac{39}{2}\\-\frac{3}{11}\times 2+\frac{2}{11}\times \frac{39}{2}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=5,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-y=2,\frac{3}{2}x+4y=\frac{39}{2}$$

Biex tagħmel x u \frac{3x}{2} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'\frac{3}{2} u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\left(-1\right)y=\frac{3}{2}\times 2,\frac{3}{2}x+4y=\frac{39}{2}$$

Issimplifika.

$$\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}y=3,\frac{3}{2}x+4y=\frac{39}{2}$$

Naqqas \frac{3}{2}x+4y=\frac{39}{2} minn \frac{3}{2}x-\frac{3}{2}y=3 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}y-4y=3-\frac{39}{2}$$

Żid \frac{3x}{2} ma' -\frac{3x}{2}. \frac{3x}{2} u -\frac{3x}{2} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-\frac{3}{2}y-4y=3-\frac{39}{2}$$

Żid -\frac{3y}{2} ma' -4y.

$$-\frac{11}{2}y=3-\frac{39}{2}$$

Żid 3 ma' -\frac{39}{2}.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{33}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{11}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'\frac{3}{2}x+4y=\frac{39}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$\frac{3}{2}x+4\times 3=\frac{39}{2}$$

Immultiplika 4 b'3.

$$\frac{3}{2}x+12=\frac{39}{2}$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{3}{2}x=\frac{15}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{3}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=3$$