Issolvi {l}{x-6=y-6/5}{x+9=y/2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 6 = \frac { y - 6 } { 5 } } \\ { x + 9 = \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=14$$

$$y=46$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'5.

$$5x-30=y-6$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$5x-30-y=-6$$

Żid 30 maż-żewġ naħat.

$$5x-y=-6+30$$

Żid -6 u 30 biex tikseb 24.

$$5x-y=24$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$2x+18=y$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$2x+18-y=0$$

Naqqas 18 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$2x-y=-18$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-y=24$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=y+24$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+24\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'y+24.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}$$

Issostitwixxi \frac{24+y}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-y=-18.

$$2\left(\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}\right)-y=-18$$

Immultiplika 2 b'\frac{24+y}{5}.

$$\frac{2}{5}y+\frac{48}{5}-y=-18$$

Żid \frac{2y}{5} ma' -y.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{48}{5}=-18$$

Naqqas \frac{48}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{138}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{3}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=46$$

Issostitwixxi 46 għal y f'x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{5}\times 46+\frac{24}{5}$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'46.

$$x=\frac{46+24}{5}$$

Żid \frac{24}{5} ma' \frac{46}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=14$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=14,y=46$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'5.

$$5x-30=y-6$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$5x-30-y=-6$$

Żid 30 maż-żewġ naħat.

$$5x-y=-6+30$$

Żid -6 u 30 biex tikseb 24.

$$5x-y=24$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$2x+18=y$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$2x+18-y=0$$

Naqqas 18 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$2x-y=-18$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 24-\frac{1}{3}\left(-18\right)\\\frac{2}{3}\times 24-\frac{5}{3}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\46\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=14,y=46$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'5.

$$5x-30=y-6$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$5x-30-y=-6$$

Żid 30 maż-żewġ naħat.

$$5x-y=-6+30$$

Żid -6 u 30 biex tikseb 24.

$$5x-y=24$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$2x+18=y$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$2x+18-y=0$$

Naqqas 18 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$2x-y=-18$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Naqqas 2x-y=-18 minn 5x-y=24 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$5x-2x-y+y=24+18$$

Żid -y ma' y. -y u y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$5x-2x=24+18$$

Żid 5x ma' -2x.

$$3x=24+18$$

Żid 24 ma' 18.

$$3x=42$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=14$$

Issostitwixxi 14 għal x f'2x-y=-18. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$2\times 14-y=-18$$

Immultiplika 2 b'14.

$$28-y=-18$$

Naqqas 28 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-y=-46$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=46$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=14,y=46$$