Issolvi {l}{x-3.5y=2}{x-2y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3.5 y = 2 } \\ { x - 2 y = 16 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{104}{3} = 34\frac{2}{3} \approx 34.666666667$$

$$y = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3} \approx 9.333333333$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-3.5y=2,x-2y=16$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-3.5y=2$$

Żid \frac{7y}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=3.5y+2$$

Issostitwixxi \frac{7y}{2}+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x-2y=16.

$$3.5y+2-2y=16$$

Żid \frac{7y}{2} ma' -2y.

$$1.5y+2=16$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$1.5y=14$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'1.5, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{28}{3}$$

Issostitwixxi \frac{28}{3} għal y f'x=3.5y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=3.5\times \frac{28}{3}+2$$

Immultiplika 3.5 b'\frac{28}{3} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{98}{3}+2$$

Żid 2 ma' \frac{98}{3}.

$$x=\frac{104}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{104}{3},y=\frac{28}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-3.5y=2,x-2y=16$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-3.5\right)}&-\frac{-3.5}{-2-\left(-3.5\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-3.5\right)}&\frac{1}{-2-\left(-3.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}&\frac{7}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\times 2+\frac{7}{3}\times 16\\-\frac{2}{3}\times 2+\frac{2}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{104}{3}\\\frac{28}{3}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{104}{3},y=\frac{28}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-3.5y=2,x-2y=16$$

Naqqas x-2y=16 minn x-3.5y=2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$x-x-3.5y+2y=2-16$$

Żid x ma' -x. x u -x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3.5y+2y=2-16$$

Żid -\frac{7y}{2} ma' 2y.

$$-1.5y=2-16$$

Żid 2 ma' -16.

$$-1.5y=-14$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-1.5, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{28}{3}$$

Issostitwixxi \frac{28}{3} għal y f'x-2y=16. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x-2\times \frac{28}{3}=16$$

Immultiplika -2 b'\frac{28}{3}.

$$x-\frac{56}{3}=16$$

Żid \frac{56}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{104}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{104}{3},y=\frac{28}{3}$$