Issolvi {l}{x^2+y^2=9}{x+y=a}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 9 } \\ { x + y = a } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni u l-Formula Kwadratika

Solvi x+y=a għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal equals.

$$x+y=a$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+a$$

Issostitwixxi -y+a għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, y^{2}+x^{2}=9.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

Ikkwadra -y+a.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

Żid y^{2} ma' y^{2}.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 1+1\left(-1\right)^{2} għal a, 1\left(-1\right)\times 2a għal b, u -9+a^{2} għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Ikkwadra 1\left(-1\right)\times 2a.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Immultiplika -4 b'1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Immultiplika -8 b'-9+a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

Żid 4a^{2} ma' 72-8a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 72-4a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

Immultiplika 2 b'1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} fejn ± hija plus. Żid 2a ma' 2\sqrt{18-a^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

Iddividi 2a+2\sqrt{18-a^{2}} b'4.

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} fejn ± hija minus. Naqqas 2\sqrt{18-a^{2}} minn 2a.

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

Iddividi 2a-2\sqrt{18-a^{2}} b'4.

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Hemm żewġ soluzzjonijiet għal y: \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} u \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}. Issostitwixxi \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} għal y fl-ekwazzjoni x=-y+a biex issib is-soluzzjoni korrispondenti għal x li tissodisfa ż-żewġ ekwazzjonijiet.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

Issa ssostitwixxi \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2} ma' y fl-ekwazzjoni x=-y+a u solvi biex issib is-soluzzjoni korrispondenti għal x li tissodisfa ż-żewġ ekwazzjonijiet.

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }|a|\leq 3\sqrt{2}$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni u l-Formula Kwadratika

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=a,y^{2}+x^{2}=9$$

Solvi x+y=a għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal equals.

$$x+y=a$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+a$$

Issostitwixxi -y+a għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, y^{2}+x^{2}=9.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

Ikkwadra -y+a.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

Żid y^{2} ma' y^{2}.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 1+1\left(-1\right)^{2} għal a, 1\left(-1\right)\times 2a għal b, u -9+a^{2} għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Ikkwadra 1\left(-1\right)\times 2a.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Immultiplika -4 b'1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Immultiplika -8 b'-9+a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

Żid 4a^{2} ma' 72-8a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 72-4a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

Immultiplika 2 b'1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} fejn ± hija plus. Żid 2a ma' 2\sqrt{18-a^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

Iddividi 2a+2\sqrt{18-a^{2}} b'4.

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} fejn ± hija minus. Naqqas 2\sqrt{18-a^{2}} minn 2a.

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

Iddividi 2a-2\sqrt{18-a^{2}} b'4.

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Hemm żewġ soluzzjonijiet għal y: \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} u \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}. Issostitwixxi \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} għal y fl-ekwazzjoni x=-y+a biex issib is-soluzzjoni korrispondenti għal x li tissodisfa ż-żewġ ekwazzjonijiet.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

Issa ssostitwixxi \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2} ma' y fl-ekwazzjoni x=-y+a u solvi biex issib is-soluzzjoni korrispondenti għal x li tissodisfa ż-żewġ ekwazzjonijiet.

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$