Issolvi {l}{x+y=74}{40x+60y=3660}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 74 } \\ { 40 x + 60 y = 3660 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=39$$

$$y=35$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=74$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+74$$

Issostitwixxi -y+74 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 40x+60y=3660.

$$40\left(-y+74\right)+60y=3660$$

Immultiplika 40 b'-y+74.

$$-40y+2960+60y=3660$$

Żid -40y ma' 60y.

$$20y+2960=3660$$

Naqqas 2960 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$20y=700$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'20.

$$y=35$$

Issostitwixxi 35 għal y f'x=-y+74. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-35+74$$

Żid 74 ma' -35.

$$x=39$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=39,y=35$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{60-40}&-\frac{1}{60-40}\\-\frac{40}{60-40}&\frac{1}{60-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-\frac{1}{20}\\-2&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 74-\frac{1}{20}\times 3660\\-2\times 74+\frac{1}{20}\times 3660\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\35\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=39,y=35$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Biex tagħmel x u 40x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'40 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$40x+40y=40\times 74,40x+60y=3660$$

Issimplifika.

$$40x+40y=2960,40x+60y=3660$$

Naqqas 40x+60y=3660 minn 40x+40y=2960 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$40x-40x+40y-60y=2960-3660$$

Żid 40x ma' -40x. 40x u -40x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$40y-60y=2960-3660$$

Żid 40y ma' -60y.

$$-20y=2960-3660$$

Żid 2960 ma' -3660.

$$-20y=-700$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-20.

$$y=35$$

Issostitwixxi 35 għal y f'40x+60y=3660. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$40x+60\times 35=3660$$

Immultiplika 60 b'35.

$$40x+2100=3660$$

Naqqas 2100 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$40x=1560$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'40.

$$x=39$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=39,y=35$$