Issolvi {l}{x+y=6}{2x-3y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 6 } \\ { 2 x - 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{19}{5} = 3\frac{4}{5} = 3.8$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=6,2x-3y=1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=6$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+6$$

Issostitwixxi -y+6 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-3y=1.

$$2\left(-y+6\right)-3y=1$$

Immultiplika 2 b'-y+6.

$$-2y+12-3y=1$$

Żid -2y ma' -3y.

$$-5y+12=1$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5y=-11$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=\frac{11}{5}$$

Issostitwixxi \frac{11}{5} għal y f'x=-y+6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{11}{5}+6$$

Żid 6 ma' -\frac{11}{5}.

$$x=\frac{19}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{19}{5},y=\frac{11}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=6,2x-3y=1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{1}{-3-2}\\-\frac{2}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 6+\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}\times 6-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{19}{5},y=\frac{11}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=6,2x-3y=1$$

Biex tagħmel x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$2x+2y=2\times 6,2x-3y=1$$

Issimplifika.

$$2x+2y=12,2x-3y=1$$

Naqqas 2x-3y=1 minn 2x+2y=12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x+2y+3y=12-1$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y+3y=12-1$$

Żid 2y ma' 3y.

$$5y=12-1$$

Żid 12 ma' -1.

$$5y=11$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=\frac{11}{5}$$

Issostitwixxi \frac{11}{5} għal y f'2x-3y=1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-3\times \frac{11}{5}=1$$

Immultiplika -3 b'\frac{11}{5}.

$$2x-\frac{33}{5}=1$$

Żid \frac{33}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=\frac{38}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{19}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{19}{5},y=\frac{11}{5}$$