Issolvi {l}{x+y=500}{25x+35y=1450}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 25 x + 35 y = 1450 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1605$$

$$y=-1105$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=500$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+500$$

Issostitwixxi -y+500 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 25x+35y=1450.

$$25\left(-y+500\right)+35y=1450$$

Immultiplika 25 b'-y+500.

$$-25y+12500+35y=1450$$

Żid -25y ma' 35y.

$$10y+12500=1450$$

Naqqas 12500 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$10y=-11050$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10.

$$y=-1105$$

Issostitwixxi -1105 għal y f'x=-y+500. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\left(-1105\right)+500$$

Immultiplika -1 b'-1105.

$$x=1105+500$$

Żid 500 ma' 1105.

$$x=1605$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1605,y=-1105$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-25}&-\frac{1}{35-25}\\-\frac{25}{35-25}&\frac{1}{35-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 500-\frac{1}{10}\times 1450\\-\frac{5}{2}\times 500+\frac{1}{10}\times 1450\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1605\\-1105\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1605,y=-1105$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Biex tagħmel x u 25x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'25 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$25x+25y=25\times 500,25x+35y=1450$$

Issimplifika.

$$25x+25y=12500,25x+35y=1450$$

Naqqas 25x+35y=1450 minn 25x+25y=12500 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$25x-25x+25y-35y=12500-1450$$

Żid 25x ma' -25x. 25x u -25x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$25y-35y=12500-1450$$

Żid 25y ma' -35y.

$$-10y=12500-1450$$

Żid 12500 ma' -1450.

$$-10y=11050$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-10.

$$y=-1105$$

Issostitwixxi -1105 għal y f'25x+35y=1450. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$25x+35\left(-1105\right)=1450$$

Immultiplika 35 b'-1105.

$$25x-38675=1450$$

Żid 38675 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$25x=40125$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'25.

$$x=1605$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1605,y=-1105$$