Issolvi {l}{x+y=5}{2x+7y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 5 } \\ { 2 x + 7 y = 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{33}{5} = 6\frac{3}{5} = 6.6$$

$$y = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=5,2x+7y=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=5$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+5$$

Issostitwixxi -y+5 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+7y=2.

$$2\left(-y+5\right)+7y=2$$

Immultiplika 2 b'-y+5.

$$-2y+10+7y=2$$

Żid -2y ma' 7y.

$$5y+10=2$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5y=-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=-\frac{8}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{8}{5} għal y f'x=-y+5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\left(-\frac{8}{5}\right)+5$$

Immultiplika -1 b'-\frac{8}{5}.

$$x=\frac{8}{5}+5$$

Żid 5 ma' \frac{8}{5}.

$$x=\frac{33}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{33}{5},y=-\frac{8}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=5,2x+7y=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-2}&-\frac{1}{7-2}\\-\frac{2}{7-2}&\frac{1}{7-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 2\\-\frac{2}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{5}\\-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{33}{5},y=-\frac{8}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=5,2x+7y=2$$

Biex tagħmel x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$2x+2y=2\times 5,2x+7y=2$$

Issimplifika.

$$2x+2y=10,2x+7y=2$$

Naqqas 2x+7y=2 minn 2x+2y=10 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x+2y-7y=10-2$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y-7y=10-2$$

Żid 2y ma' -7y.

$$-5y=10-2$$

Żid 10 ma' -2.

$$-5y=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=-\frac{8}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{8}{5} għal y f'2x+7y=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+7\left(-\frac{8}{5}\right)=2$$

Immultiplika 7 b'-\frac{8}{5}.

$$2x-\frac{56}{5}=2$$

Żid \frac{56}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=\frac{66}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{33}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{33}{5},y=-\frac{8}{5}$$