Issolvi {l}{x+y=200}{x+1/2y=160}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 200 } \\ { x + \frac { 1 } { 2 } y = 160 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=120$$

$$y=80$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=200,x+\frac{1}{2}y=160$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=200$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+200$$

Issostitwixxi -y+200 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+\frac{1}{2}y=160.

$$-y+200+\frac{1}{2}y=160$$

Żid -y ma' \frac{y}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+200=160$$

Naqqas 200 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{2}y=-40$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=80$$

Issostitwixxi 80 għal y f'x=-y+200. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-80+200$$

Żid 200 ma' -80.

$$x=120$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=120,y=80$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=200,x+\frac{1}{2}y=160$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-1}&\frac{1}{\frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-200+2\times 160\\2\times 200-2\times 160\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\80\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=120,y=80$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=200,x+\frac{1}{2}y=160$$

Naqqas x+\frac{1}{2}y=160 minn x+y=200 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$x-x+y-\frac{1}{2}y=200-160$$

Żid x ma' -x. x u -x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$y-\frac{1}{2}y=200-160$$

Żid y ma' -\frac{y}{2}.

$$\frac{1}{2}y=200-160$$

Żid 200 ma' -160.

$$\frac{1}{2}y=40$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'2.

$$y=80$$

Issostitwixxi 80 għal y f'x+\frac{1}{2}y=160. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+\frac{1}{2}\times 80=160$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'80.

$$x+40=160$$

Naqqas 40 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=120$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=120,y=80$$