Issolvi {l}{x+y=18*2}{x-y=11x2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 18 \times 2 } \\ { x - y = 11 x 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{11x_{2}}{2}+18$$

$$y=-\frac{11x_{2}}{2}+18$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=36,x-y=11x_{2}$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=36$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+36$$

Issostitwixxi -y+36 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x-y=11x_{2}.

$$-y+36-y=11x_{2}$$

Żid -y ma' -y.

$$-2y+36=11x_{2}$$

Naqqas 36 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2y=11x_{2}-36$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=-\frac{11x_{2}}{2}+18$$

Issostitwixxi -\frac{11x_{2}}{2}+18 għal y f'x=-y+36. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\left(-\frac{11x_{2}}{2}+18\right)+36$$

Immultiplika -1 b'-\frac{11x_{2}}{2}+18.

$$x=\frac{11x_{2}}{2}-18+36$$

Żid 36 ma' \frac{11x_{2}}{2}-18.

$$x=\frac{11x_{2}}{2}+18$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{11x_{2}}{2}+18,y=-\frac{11x_{2}}{2}+18$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=36,x-y=11x_{2}$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\11x_{2}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\11x_{2}\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\11x_{2}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\11x_{2}\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\11x_{2}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\11x_{2}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 36+\frac{1}{2}\times 11x_{2}\\\frac{1}{2}\times 36-\frac{1}{2}\times 11x_{2}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11x_{2}}{2}+18\\-\frac{11x_{2}}{2}+18\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{11x_{2}}{2}+18,y=-\frac{11x_{2}}{2}+18$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=36,x-y=11x_{2}$$

Naqqas x-y=11x_{2} minn x+y=36 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$x-x+y+y=36-11x_{2}$$

Żid x ma' -x. x u -x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$y+y=36-11x_{2}$$

Żid y ma' y.

$$2y=36-11x_{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=-\frac{11x_{2}}{2}+18$$

Issostitwixxi 18-\frac{11x_{2}}{2} għal y f'x-y=11x_{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x-\left(-\frac{11x_{2}}{2}+18\right)=11x_{2}$$

Immultiplika -1 b'18-\frac{11x_{2}}{2}.

$$x+\frac{11x_{2}}{2}-18=11x_{2}$$

Naqqas \frac{11x_{2}}{2}-18 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{11x_{2}}{2}+18$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{11x_{2}}{2}+18,y=-\frac{11x_{2}}{2}+18$$