Issolvi {l}{x+y=130}{20x+5y=1925}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 130 } \\ { 20 x + 5 y = 1925 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=85$$

$$y=45$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=130$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+130$$

Issostitwixxi -y+130 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 20x+5y=1925.

$$20\left(-y+130\right)+5y=1925$$

Immultiplika 20 b'-y+130.

$$-20y+2600+5y=1925$$

Żid -20y ma' 5y.

$$-15y+2600=1925$$

Naqqas 2600 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-15y=-675$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-15.

$$y=45$$

Issostitwixxi 45 għal y f'x=-y+130. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-45+130$$

Żid 130 ma' -45.

$$x=85$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=85,y=45$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-20}&-\frac{1}{5-20}\\-\frac{20}{5-20}&\frac{1}{5-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 130+\frac{1}{15}\times 1925\\\frac{4}{3}\times 130-\frac{1}{15}\times 1925\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\45\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=85,y=45$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

Biex tagħmel x u 20x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'20 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$20x+20y=20\times 130,20x+5y=1925$$

Issimplifika.

$$20x+20y=2600,20x+5y=1925$$

Naqqas 20x+5y=1925 minn 20x+20y=2600 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$20x-20x+20y-5y=2600-1925$$

Żid 20x ma' -20x. 20x u -20x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$20y-5y=2600-1925$$

Żid 20y ma' -5y.

$$15y=2600-1925$$

Żid 2600 ma' -1925.

$$15y=675$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'15.

$$y=45$$

Issostitwixxi 45 għal y f'20x+5y=1925. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$20x+5\times 45=1925$$

Immultiplika 5 b'45.

$$20x+225=1925$$

Naqqas 225 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$20x=1700$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'20.

$$x=85$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=85,y=45$$