Issolvi {l}{x+y=100}{60x+70y=630}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 60 x + 70 y = 630 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=637$$

$$y=-537$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=100$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+100$$

Issostitwixxi -y+100 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 60x+70y=630.

$$60\left(-y+100\right)+70y=630$$

Immultiplika 60 b'-y+100.

$$-60y+6000+70y=630$$

Żid -60y ma' 70y.

$$10y+6000=630$$

Naqqas 6000 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$10y=-5370$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10.

$$y=-537$$

Issostitwixxi -537 għal y f'x=-y+100. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\left(-537\right)+100$$

Immultiplika -1 b'-537.

$$x=537+100$$

Żid 100 ma' 537.

$$x=637$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=637,y=-537$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{70-60}&-\frac{1}{70-60}\\-\frac{60}{70-60}&\frac{1}{70-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&-\frac{1}{10}\\-6&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 100-\frac{1}{10}\times 630\\-6\times 100+\frac{1}{10}\times 630\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}637\\-537\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=637,y=-537$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

Biex tagħmel x u 60x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'60 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$60x+60y=60\times 100,60x+70y=630$$

Issimplifika.

$$60x+60y=6000,60x+70y=630$$

Naqqas 60x+70y=630 minn 60x+60y=6000 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$60x-60x+60y-70y=6000-630$$

Żid 60x ma' -60x. 60x u -60x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$60y-70y=6000-630$$

Żid 60y ma' -70y.

$$-10y=6000-630$$

Żid 6000 ma' -630.

$$-10y=5370$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-10.

$$y=-537$$

Issostitwixxi -537 għal y f'60x+70y=630. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$60x+70\left(-537\right)=630$$

Immultiplika 70 b'-537.

$$60x-37590=630$$

Żid 37590 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$60x=38220$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'60.

$$x=637$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=637,y=-537$$