Issolvi {l}{x+4y=41}{4x+5y=65}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 4 y = 41 } \\ { 4 x + 5 y = 65 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=5$$

$$y=9$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+4y=41$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-4y+41$$

Issostitwixxi -4y+41 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x+5y=65.

$$4\left(-4y+41\right)+5y=65$$

Immultiplika 4 b'-4y+41.

$$-16y+164+5y=65$$

Żid -16y ma' 5y.

$$-11y+164=65$$

Naqqas 164 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-11y=-99$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-11.

$$y=9$$

Issostitwixxi 9 għal y f'x=-4y+41. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-4\times 9+41$$

Immultiplika -4 b'9.

$$x=-36+41$$

Żid 41 ma' -36.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=9$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4\times 4}&-\frac{4}{5-4\times 4}\\-\frac{4}{5-4\times 4}&\frac{1}{5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}\times 41+\frac{4}{11}\times 65\\\frac{4}{11}\times 41-\frac{1}{11}\times 65\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=5,y=9$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

Biex tagħmel x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$4x+4\times 4y=4\times 41,4x+5y=65$$

Issimplifika.

$$4x+16y=164,4x+5y=65$$

Naqqas 4x+5y=65 minn 4x+16y=164 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4x-4x+16y-5y=164-65$$

Żid 4x ma' -4x. 4x u -4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$16y-5y=164-65$$

Żid 16y ma' -5y.

$$11y=164-65$$

Żid 164 ma' -65.

$$11y=99$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'11.

$$y=9$$

Issostitwixxi 9 għal y f'4x+5y=65. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x+5\times 9=65$$

Immultiplika 5 b'9.

$$4x+45=65$$

Naqqas 45 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=9$$