Issolvi {l}{x+3y=1}{3x+7y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 1 } \\ { 3 x + 7 y = 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-2$$

$$y=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+3y=1,3x+7y=1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+3y=1$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-3y+1$$

Issostitwixxi -3y+1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+7y=1.

$$3\left(-3y+1\right)+7y=1$$

Immultiplika 3 b'-3y+1.

$$-9y+3+7y=1$$

Żid -9y ma' 7y.

$$-2y+3=1$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2y=-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'x=-3y+1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-3+1$$

Żid 1 ma' -3.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+3y=1,3x+7y=1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&3\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-3\times 3}&-\frac{3}{7-3\times 3}\\-\frac{3}{7-3\times 3}&\frac{1}{7-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2}&\frac{3}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-7+3}{2}\\\frac{3-1}{2}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-2,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+3y=1,3x+7y=1$$

Biex tagħmel x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$3x+3\times 3y=3,3x+7y=1$$

Issimplifika.

$$3x+9y=3,3x+7y=1$$

Naqqas 3x+7y=1 minn 3x+9y=3 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3x-3x+9y-7y=3-1$$

Żid 3x ma' -3x. 3x u -3x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$9y-7y=3-1$$

Żid 9y ma' -7y.

$$2y=3-1$$

Żid 3 ma' -1.

$$2y=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'3x+7y=1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+7=1$$

Naqqas 7 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=1$$