Issolvi {l}{x+2y=4}{y=2x+7}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 4 } \\ { y = 2 x + 7 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=7$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+2y=4,-2x+y=7$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+2y=4$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-2y+4$$

Issostitwixxi -2y+4 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x+y=7.

$$-2\left(-2y+4\right)+y=7$$

Immultiplika -2 b'-2y+4.

$$4y-8+y=7$$

Żid 4y ma' y.

$$5y-8=7$$

Żid 8 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5y=15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'x=-2y+4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\times 3+4$$

Immultiplika -2 b'3.

$$x=-6+4$$

Żid 4 ma' -6.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=7$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+2y=4,-2x+y=7$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4-\frac{2}{5}\times 7\\\frac{2}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-2,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=7$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+2y=4,-2x+y=7$$

Biex tagħmel x u -2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-2x-2\times 2y=-2\times 4,-2x+y=7$$

Issimplifika.

$$-2x-4y=-8,-2x+y=7$$

Naqqas -2x+y=7 minn -2x-4y=-8 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2x+2x-4y-y=-8-7$$

Żid -2x ma' 2x. -2x u 2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-4y-y=-8-7$$

Żid -4y ma' -y.

$$-5y=-8-7$$

Żid -8 ma' -7.

$$-5y=-15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'-2x+y=7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x+3=7$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=3$$