Issolvi {l}{x+2y=4+3}{-x-y=278-1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 4 + 3 } \\ { - x - y = 278 - 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-561$$

$$y=284$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+2y=7,-x-y=277$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+2y=7$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-2y+7$$

Issostitwixxi -2y+7 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x-y=277.

$$-\left(-2y+7\right)-y=277$$

Immultiplika -1 b'-2y+7.

$$2y-7-y=277$$

Żid 2y ma' -y.

$$y-7=277$$

Żid 7 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=284$$

Issostitwixxi 284 għal y f'x=-2y+7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\times 284+7$$

Immultiplika -2 b'284.

$$x=-568+7$$

Żid 7 ma' -568.

$$x=-561$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-561,y=284$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+2y=7,-x-y=277$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&2\\-1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{-1-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-1-2\left(-1\right)}&\frac{1}{-1-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7-2\times 277\\7+277\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-561\\284\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-561,y=284$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+2y=7,-x-y=277$$

Biex tagħmel x u -x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-x-2y=-7,-x-y=277$$

Naqqas -x-y=277 minn -x-2y=-7 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-x+x-2y+y=-7-277$$

Żid -x ma' x. -x u x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-2y+y=-7-277$$

Żid -2y ma' y.

$$-y=-7-277$$

Żid -7 ma' -277.

$$-y=-284$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=284$$

Issostitwixxi 284 għal y f'-x-y=277. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-x-284=277$$

Żid 284 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=561$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=-561$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-561,y=284$$