Issolvi {l}{x+2y=11}{x-5y=-17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 11 } \\ { x - 5 y = - 17 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+2y=11,x-5y=-17$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+2y=11$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-2y+11$$

Issostitwixxi -2y+11 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x-5y=-17.

$$-2y+11-5y=-17$$

Żid -2y ma' -5y.

$$-7y+11=-17$$

Naqqas 11 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-7y=-28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'x=-2y+11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\times 4+11$$

Immultiplika -2 b'4.

$$x=-8+11$$

Żid 11 ma' -8.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+2y=11,x-5y=-17$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2}&-\frac{2}{-5-2}\\-\frac{1}{-5-2}&\frac{1}{-5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 11+\frac{2}{7}\left(-17\right)\\\frac{1}{7}\times 11-\frac{1}{7}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+2y=11,x-5y=-17$$

Naqqas x-5y=-17 minn x+2y=11 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$x-x+2y+5y=11+17$$

Żid x ma' -x. x u -x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y+5y=11+17$$

Żid 2y ma' 5y.

$$7y=11+17$$

Żid 11 ma' 17.

$$7y=28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'x-5y=-17. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x-5\times 4=-17$$

Immultiplika -5 b'4.

$$x-20=-17$$

Żid 20 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=4$$