Issolvi {l}{x+2y=10}{3y-2x=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 10 } \\ { 3 y - 2 x = 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

$$y = \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} \approx 3.571428571$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+2y=10$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-2y+10$$

Issostitwixxi -2y+10 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x+3y=5.

$$-2\left(-2y+10\right)+3y=5$$

Immultiplika -2 b'-2y+10.

$$4y-20+3y=5$$

Żid 4y ma' 3y.

$$7y-20=5$$

Żid 20 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7y=25$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$y=\frac{25}{7}$$

Issostitwixxi \frac{25}{7} għal y f'x=-2y+10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\times \frac{25}{7}+10$$

Immultiplika -2 b'\frac{25}{7}.

$$x=-\frac{50}{7}+10$$

Żid 10 ma' -\frac{50}{7}.

$$x=\frac{20}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), biex l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala l-problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3-2\left(-2\right)}&\frac{1}{3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 10-\frac{2}{7}\times 5\\\frac{2}{7}\times 10+\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\\\frac{25}{7}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

Biex tagħmel x u -2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-2x-2\times 2y=-2\times 10,-2x+3y=5$$

Issimplifika.

$$-2x-4y=-20,-2x+3y=5$$

Naqqas -2x+3y=5 minn -2x-4y=-20 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2x+2x-4y-3y=-20-5$$

Żid -2x ma' 2x. -2x u 2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-4y-3y=-20-5$$

Żid -4y ma' -3y.

$$-7y=-20-5$$

Żid -20 ma' -5.

$$-7y=-25$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$y=\frac{25}{7}$$

Issostitwixxi \frac{25}{7} għal y f'-2x+3y=5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x+3\times \frac{25}{7}=5$$

Immultiplika 3 b'\frac{25}{7}.

$$-2x+\frac{75}{7}=5$$

Naqqas \frac{75}{7} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=-\frac{40}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=\frac{20}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$