Issolvi {l}{x+2y=1}{y=4x-5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9} \approx 1.222222222$$

$$y=-\frac{1}{9}\approx -0.111111111$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 4x miż-żewġ naħat.

$$y-4x=-5$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+2y=1$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-2y+1$$

Issostitwixxi -2y+1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -4x+y=-5.

$$-4\left(-2y+1\right)+y=-5$$

Immultiplika -4 b'-2y+1.

$$8y-4+y=-5$$

Żid 8y ma' y.

$$9y-4=-5$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9y=-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$y=-\frac{1}{9}$$

Issostitwixxi -\frac{1}{9} għal y f'x=-2y+1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\left(-\frac{1}{9}\right)+1$$

Immultiplika -2 b'-\frac{1}{9}.

$$x=\frac{2}{9}+1$$

Żid 1 ma' \frac{2}{9}.

$$x=\frac{11}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 4x miż-żewġ naħat.

$$y-4x=-5$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), biex l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala l-problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{1-2\left(-4\right)}&\frac{1}{1-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\\\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}-\frac{2}{9}\left(-5\right)\\\frac{4}{9}+\frac{1}{9}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{9}\\-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 4x miż-żewġ naħat.

$$y-4x=-5$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

Biex tagħmel x u -4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-4x-4\times 2y=-4,-4x+y=-5$$

Issimplifika.

$$-4x-8y=-4,-4x+y=-5$$

Naqqas -4x+y=-5 minn -4x-8y=-4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-4x+4x-8y-y=-4+5$$

Żid -4x ma' 4x. -4x u 4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-8y-y=-4+5$$

Żid -8y ma' -y.

$$-9y=-4+5$$

Żid -4 ma' 5.

$$-9y=1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-9.

$$y=-\frac{1}{9}$$

Issostitwixxi -\frac{1}{9} għal y f'-4x+y=-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-4x-\frac{1}{9}=-5$$

Żid \frac{1}{9} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4x=-\frac{44}{9}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$x=\frac{11}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$