Issolvi {l}{x+2y=-8}{y=-3/2x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = - 8 } \\ { y = - \frac { 3 } { 2 } x - 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=-5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid \frac{3}{2}x maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+2y=-8$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-2y-8$$

Issostitwixxi -2y-8 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, \frac{3}{2}x+y=-2.

$$\frac{3}{2}\left(-2y-8\right)+y=-2$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'-2y-8.

$$-3y-12+y=-2$$

Żid -3y ma' y.

$$-2y-12=-2$$

Żid 12 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2y=10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=-5$$

Issostitwixxi -5 għal y f'x=-2y-8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\left(-5\right)-8$$

Immultiplika -2 b'-5.

$$x=10-8$$

Żid -8 ma' 10.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=-5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid \frac{3}{2}x maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times \frac{3}{2}}&-\frac{2}{1-2\times \frac{3}{2}}\\-\frac{\frac{3}{2}}{1-2\times \frac{3}{2}}&\frac{1}{1-2\times \frac{3}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&1\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-8\right)-2\\\frac{3}{4}\left(-8\right)-\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=-5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid \frac{3}{2}x maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

Biex tagħmel x u \frac{3x}{2} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'\frac{3}{2} u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\times 2y=\frac{3}{2}\left(-8\right),\frac{3}{2}x+y=-2$$

Issimplifika.

$$\frac{3}{2}x+3y=-12,\frac{3}{2}x+y=-2$$

Naqqas \frac{3}{2}x+y=-2 minn \frac{3}{2}x+3y=-12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}x+3y-y=-12+2$$

Żid \frac{3x}{2} ma' -\frac{3x}{2}. \frac{3x}{2} u -\frac{3x}{2} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3y-y=-12+2$$

Żid 3y ma' -y.

$$2y=-12+2$$

Żid -12 ma' 2.

$$2y=-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=-5$$

Issostitwixxi -5 għal y f'\frac{3}{2}x+y=-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$\frac{3}{2}x-5=-2$$

Żid 5 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{3}{2}x=3$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{3}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=-5$$